A interesting Problem
题目描述
池塘边有n个孩子，其中有m个孩子额头上有泥巴(\(0<m<n+1\))。
- 每个孩子都能看到别的孩子头上有没有泥巴，但看不到自己头上有无泥巴，
- 每个孩子不会以任何方式告知其他孩子头上有无泥巴，
- 每个孩子都能进行足够快速和准确的逻辑推理，
- 每个孩子都知道1、2、3。 老师说：“有人头上有泥巴，推理出自己头上有泥巴的请举手。”如果没有孩子举手，隔足够长时间后，老师会重复这句话。
问：这 n 个孩子能推理出自己头上有泥巴吗？如果能，他们怎么推理出来的?
我们把孩子分成两个等价类：头上有泥巴的孩子和头上没有泥巴的孩子。
当\(m=1\)时，只有一个孩子有泥巴，他看到除自己之外其余孩子头上都没有泥巴，而老师说“有人头上有泥巴”，所以他知道自己头上有泥巴，第一轮举手了； 其余孩子看到有一个孩子头上有泥巴，但是没人能够告诉他自己头上有无泥巴，因此无法推断出自己头上有无泥巴，第一轮不举手。
当\(m=2\)时，两个孩子头上有泥巴，第一轮老师说话后，两个孩子（A和B）都会看到对方头上都有泥巴，但是没有人告知他们自己头上有无泥巴，因此无法推断出自己头上有无泥巴，第一轮不举手。 第二轮老师说话后，B知道A能进行足够快速和准确的逻辑推理，如果自己头上没有泥巴，A在第一轮就应该举手了，但A没有举手，所以B知道除A之外还有人头上有泥巴，但是B只看到了A头上有泥巴，所以B知道自己头上也有泥巴，第二轮举手了；同样的道理，A也知道自己头上有泥巴，第二轮举手了。
当\(m=3\)时，第一轮说话，A、B、C三个孩子都无法推断出自己头上有无泥巴，第一轮不举手。 第二轮说话，A、B、C三个孩子也无法推断出自己头上有无泥巴，第二轮不举手。 第三轮说话，C知道B能够进行足够快速和准确的逻辑推理，但是不知道B知道A可以进行足够快速和准确的逻辑推理，无法假设自己头上没有泥巴而退出矛盾！ 所以C无法推断出自己头上有泥巴，同样道理，B和A也无法推断出自己头上有泥巴，第三轮不举手。 无论老师说多少轮，A、B、C三个孩子都无法推断出自己头上有泥巴，永远不举手。
所以\(m\geq 3\)时，孩子们无法推断出自己头上有泥巴，永远不举手。