初等函数与 EML 算子

内容链：从两颗种子到整个计算器¶

整篇文章的构造路线如下：

起点：eml 算子 \(\text{eml}(x, y) = e^x - \ln(y)\) + 常数 \(1\)。所有计算在复数域 \(\mathbb{C}\) 上进行（对数取主值分支）。

推导链：

1. 基本常数与函数：从 eml 和 1 直接得到 \(e\)、\(e^x\)、\(\ln(x)\)
2. 减法：\(\ln x - \ln y\) 搭配 eml 的 \(e^x - \ln y\) 结构，消去超越函数部分，留下纯减法
3. 零与负数：有了减法就能造 \(0 = x - x\)、\(-1 = 0 - 1\)，进而 \(2 = -(-1)\)
4. 取反：利用后继、前驱、倒数三个操作组合出 \(-x\)
5. 四则运算：取反 + 减法 → 加法；通过 exp-log 恒等式 → 乘法、除法、幂运算
6. 代数运算：开方 \(x^{1/2} = e^{\frac{1}{2}\ln x}\)
7. 复数域：\(\ln(-1) = i\pi\) → 提取 \(\pi\) 和虚数单位 \(i\)
8. 三角函数：欧拉公式 \(e^{ix} = \cos x + i\sin x\) + 取虚部/实部 → \(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\) 及其反函数、双曲函数

到达第 8 步后，科学计算器上的全部按键都可以用 eml 树表达出来。语法规则自始至终只有一条：

EML 算子：定义¶

EML，全称 Exp-Minus-Log。一个二元运算，配上常数 \(1\)，就能构造出科学计算器上的全部功能。

常数 \(1\) 的作用是"消掉"对数项：\(\ln(1) = 0\)，所以 \(\text{eml}(x, 1) = e^x - 0 = e^x\)，直接就是指数函数。

下面按推导链的顺序，一步步展开。

第一步：基本常数与函数¶

常数 \(e\)¶

RPN 代码：1 1 eml，长度 \(K = 3\)。

指数函数 \(e^x\)¶

把 \(y = 1\) 代入，\(\ln(1) = 0\)，剩下 \(e^x\)。这是整个体系中最简单的函数，深度 1。

自然对数 \(\ln(x)\)¶

这个构造有点绕，展开来看：

• 内层：\(\text{eml}(1, x) = e^1 - \ln(x) = e - \ln(x)\)
• 中层：\(\text{eml}(\text{eml}(1, x), 1) = e^{e - \ln(x)} - \ln(1) = e^{e - \ln(x)} = e^e / x\)
• 外层：\(\text{eml}(1, e^e / x) = e - \ln(e^e / x) = e - (e - \ln x) = \ln x\)

等价地，\(\ln x = e - \ln(e^e / x)\)。验证无误。

这是整个推导链中最难的一步。RPN 代码：1 1 x eml 1 eml eml，长度 \(K = 7\)。

第二步：减法¶

拿到 \(\ln\) 之后，减法是一个关键突破口。观察 eml 的结构：

这就是减法。eml 本身就是 \(e^x - \ln y\) 的形式，当第一个参数是对数、第二个参数是指数时，超越函数部分恰好对消，留下纯减法。

RPN 代码：ln x exp y eml，长度 \(K = 5\)。

第三步：零与整数常数¶

有了减法，造 \(0\) 就很直接了：

然后是负整数：

更大的整数可以通过反复加减得到。不过用 eml 直接表示时，嵌套深度会急剧增加——比如 \(2\) 用编译器输出 \(K = 27\)，直接搜索最短表达式也要 \(K = 19\)。简单来说，"自然"的递推表达式和"最短"的 eml 表达式通常不是同一个。

第四步：取反¶

光有减法还不够，我们需要能对任意 \(x\) 取反。论文中的做法是先构造三个辅助函数——后继（suc）、前驱（pre）和倒数（inv），再用它们拼出取反。

这个构造来自有理函数生成的一个经典练习（参见 Halmos 的 A Problem Seminar）：只用 \(\text{suc}(x) = x + 1\)、\(\text{pre}(x) = x - 1\)、\(\text{inv}(x) = 1/x\) 三个操作，构造 \(-x\)。

答案是：

展开验证，从内到外逐步算：

1. \(\text{inv}(x) = 1/x\)
2. \(\text{suc}(1/x) = 1/x + 1\)
3. \(\text{inv}(1/x + 1) = 1/(1/x + 1) = x/(x+1)\)
4. \(\text{pre}(x/(x+1)) = x/(x+1) - 1 = -1/(x+1)\)
5. \(\text{inv}(-1/(x+1)) = -(x+1)\)
6. \(\text{suc}(-(x+1)) = -(x+1) + 1 = -x\)

嵌套深度 6，验证通过。

在 eml 体系中，这三个辅助函数各自有对应的 eml 表达式（其中 pre 本身就是减法的特例，suc 也是减法加上 \(-1\) 的组合），拼在一起后取反的总嵌套深度相当深——编译器输出 \(K = 57\)，但直接搜索可以缩到 \(K = 15\)。

第五步：四则运算¶

加法¶

有了取反和减法，加法就来了：

编译器输出 \(K = 27\)，直接搜索 \(K = 19\)。

乘法¶

乘法走 exp-log 路线：

右边就是 \(\text{eml}(\text{加法}(\ln x, \ln y), 1)\)。把每一步中间结果替换成 eml 表达式后，编译器输出 \(K = 41\)，直接搜索 \(K = 17\)。

除法¶

先取倒数再乘。编译器 \(K = 105\)，直接搜索 \(K = 17\)。

幂运算¶

编译器 \(K = 49\)，直接搜索 \(K = 25\)。

到这里，四则运算加幂运算全部到位。回头看，整个体系的核心思路是：exp 和 ln 互为逆运算，eml 把它们不对称地塞进同一个二元算子，减法刚好消掉超越部分。剩下的四则运算全靠 exp 和 ln 之间的经典恒等式来翻译。

第六步：代数运算¶

开方是幂运算的特例：

编译器 \(K = 139\)，直接搜索 \(K \geq 35\)（搜索超时，只找到了下界）。

类似地，\(x^2 = x \times x\)（\(K = 17\)），\(x/2\) 等分数也都能构造。

第七步：复数域——\(\pi\) 和 \(i\) 的登场¶

推导链到现在一直在实数域上操作。要从三角函数突破，必须进入复数。

关键事实是复数域上的对数有一个特殊值：

其中 \(i\) 是虚数单位，\(\pi\) 是圆周率。注意这里取的是主值分支。

常数 \(\pi\)¶

\(\ln(-1)\) 的模是 \(\pi\)，平方后取负再开方，就得到 \(\pi\)。编译器 \(K = 193\)。

虚数单位 \(i\)¶

有了 \(\pi\) 之后：

需要用到取虚部操作。实际构造中，\(i\) 的 eml 表达式相当深（编译器 \(K = 131\)），因为它需要在复数运算中正确处理分支切割。

值得一提的是，整个体系必须工作在复数域上——至少内部计算如此。就像量子计算用复振幅来算实概率，eml 用复数中间结果来算实数初等函数。这是因为要得到 \(\pi\) 和 \(i\)，就必须对负数取对数，而纯实数域上的 \(\ln\) 对负数没有定义。作者在论文中提到，他尝试过用三角/双曲函数替代 exp/ln 来寻找纯实数域的 Sheffer 算子，但一无所获。纯实数域上的连续 Sheffer 算子是否存在，仍然是个开放问题。

第八步：三角函数¶

有了 \(i\) 之后，欧拉公式就可以工作了：

三角函数的标准分解：

其中 \(e^{ix} = \text{eml}(ix, 1)\)，\(e^{-ix} = \text{eml}(-ix, 1)\)，取虚部/实部可以通过 eml 的组合来实现。剩下的操作全是前面已经构造好的除法和加法。

\(\tan x = \sin x / \cos x\)，\(\cot x = \cos x / \sin x\)，以此类推。反三角函数通过反函数关系构造——比如 \(\arcsin x = \pi/2 - \arccos x\)。

双曲函数更直接：

这些都可以用已经有的 exp 和加法/减法/除法组合出来。

至此，科学计算器上的所有按键——加减乘除、幂运算、开方、\(\ln\)、\(e^x\)、\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)、\(\arcsin\)、\(\sinh\)、\(\cosh\)、\(\tanh\)、\(\text{arsinh}\)、\(\text{arcosh}\)、\(\text{artanh}\)——都能用 eml 树表达。

一棵树，一条文法¶

所有 eml 表达式共享同一个上下文无关文法：

要么是常数 \(1\)，要么是把两个子表达式丢进 eml。每一个初等函数公式都可以表示成一棵完全二叉树，每个内部节点都是 eml。输入变量 \(x\) 作为额外的叶节点加入。

这种结构和 Catalan 数、满二叉树等组合对象同构。本质上，初等函数并不像课本上看起来那样五花八门——加法、乘法、三角函数、对数，它们都是同一种树状结构的实例。和数字电路用 NAND 门搭建任意布尔电路的思想如出一辙。

下表列出了各个操作的 eml 表达复杂度（RPN 代码长度 \(K\)）：

编译器的输出远不是最优的——直接穷举搜索能找到短得多的表达式。但即便是最短表达式，像 \(\sqrt{x}\) 这样的操作也要 \(K \geq 35\) 条 RPN 指令。eml 表达式的嵌套深度普遍在 5 到 9 层之间，论文原文说这些公式"defy intuitive construction"——不太直觉，但验证无误。

符号回归：从数据中发现公式¶

论文后半部分做了一个有意思的应用。既然 eml 树能表示一切初等函数，那能不能反过来——给一组 \((x, y)\) 数据，自动发现背后的公式？

作者的思路是构造一个"主公式"（master formula）：一棵参数化的 eml 二叉树，每个节点的输入是 \(\alpha_i + \beta_i x + \gamma_i f\)（\(\alpha, \beta, \gamma\) 是可训练参数，\(f\) 是来自下层节点的输出）。通过 softmax 把 \(\alpha, \beta, \gamma\) 归一化为概率，再用 Adam 优化器做梯度下降。

当数据的生成规律确实是一个初等函数时，训练得到的权重会收敛到精确的 \(0\) 或 \(1\)（对应"选 1"、"选 x"或"选下层结果"），从而恢复出精确的闭式公式。论文展示了成功恢复 \(\ln x\) 等函数的实验结果。

在深度不超过 4 的树上，盲恢复成功率在深度 2 时是 100%，深度 3-4 时约 25%，深度 5 时不到 1%，深度 6 在 448 次尝试中一次也没成功。但如果把正确答案的权重加上高斯噪声，优化器在深度 5-6 时仍能 100% 收敛回去——说明正确解的吸引盆确实存在，只是从随机初始化出发很难找到。

传统的符号回归（比如遗传编程）需要在一个没有结构的表达式空间里暴力搜索，而 eml 树提供了一个有结构的、同构于完全二叉树的搜索空间，梯度方法可以更高效地探索。

为什么之前没人发现？¶

eml 的形式并不复杂，\(e^x - \ln(y)\) 这种组合在高数课本上随处可见。但把它提升到"通用算子"的位置，需要跨越几道坎：

1. 搜索空间巨大。可能的二元算子太多了，穷举不现实。作者是通过系统性的数值筛选方法——把代数无关的超越数（欧拉-马斯刻若尼常数 \(\gamma\)、Glaisher-Kinkelin 常数 \(A\) 等）代入验证，排除伪解——才锁定 eml 的。

2. 非对称性被忽视。之前人们倾向于找对称的、可交换的运算，而 eml 关于两个参数是不对称的——\(e^x\) 和 \(-\ln(y)\) 扮演完全不同的角色。

3. 验证本身就很困难。典型的 eml 表达式嵌套深度 5-9 层，符号化简 exp-ln 组合在 Mathematica 里都会触发内核崩溃。作者不得不改用数值方法：在一个点上验证等式成立（基于 Schanuel 猜想，代数无关的超越数代入时，两个不等表达式的数值几乎不可能碰巧相等），再在补充材料中用四种实现（C、NumPy、PyTorch、mpmath）交叉验证。

并不唯一¶

EML 不是唯一的功能完备算子。论文还提到了几个变体：

• EDL：\(\text{edl}(x, y) = e^x / \ln(y)\)，除法代替减法，常数换成 \(e\)
• \(-\text{eml}(y, x)\)：\(\ln(x) - e^y\)，参数交换加取反，常数换成 \(-\infty\)

这说明 eml 的"万能性"并不是一个巧合，而是一类算子共享的性质。

更有意思的是，作者已经找到了一个三元算子的候选 \(T(x, y, z) = e^x / \ln x \times \ln z / e^y\)，不需要任何特殊常数。但纯实数域的 Sheffer 算子是否存在，仍然是开放问题。

一个两按钮的计算器¶

写到最后，想想这个体系：一个只有两个按钮的科学计算器——一个按钮是 eml，另一个按钮是 1。从这两颗种子出发，能长出 \(e\)、\(\pi\)、\(i\)、加减乘除、\(\sin\)、\(\cos\)、\(\ln\)、\(\sqrt{\phantom{x}}\) 以及科学计算器上的全部功能。

实现上，这种纯 eml 表达式可以跑在符号计算引擎（Mathematica）或 IEEE 754 浮点（C 的 <math.h>）上。作者甚至做了 FPGA 和模拟电路的类比图。当然，由于嵌套太深，实际计算效率不如直接调用标准库函数，但作为一种结构性的理论结果，它确实把初等函数的"基因"揭示得很清楚。

参考来源：

• Odrzywolek, A. (2026). All elementary functions from a single binary operator. arXiv:2603.21852v2. | 论文链接 | 代码仓库 | 数据集

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