常微分方程（ODE）¶
笔记¶
经验分享¶
挺哥爱死你了（iting出没），虽然期末差了一点点TAT
平时考核：原本是2次预先通知的线下小测，后面zt老师和另外一个班的老师讨论过后将第二次线下小测改成了3次随机线上小测（不过最后只进行了2次）
作为3.5学分的专业课，常微分方程的内容确实挺多的，所以十分不建议后期补天，同时lz也没有用什么额外的资料，打算从课程内容方面来写一点分享。
常微分方程主要内容包括（按授课顺序）：一阶常微分方程的求解、线性常微分方程（组）的解的存在性和求解方式、一阶常微分方程的适定性、稳定性理论、几何理论（相图）、一阶偏微分方程初步
一阶常微分方程的求解¶
这部分讲的是各种一阶常微分方程的求解方式：齐次非齐次、线性非线性以及一些特殊形式方程的求解方法，这些老师上课的时候一步一步地推为什么用这种方式，然后也会给很多例题来进行运用，再配上作业相信大家这部分是没什么问题的。
接着就是奇解，通过画出通解的积分曲线能够发现一条特殊的但不属于通解集合的曲线，这就解释了为什么会有这个概念？接着去研究它和特解的异同，得到了p-判别曲线。
对了这部分的知识点有一个很经典的应用：Gronwall 不等式，一定要记好这个不等式，后面的学习中会经常碰到！
线性常微分方程组¶
我们先学了实数的x，这个部份研究的是向量 X。这时候我们就要先考虑这个常微分方程组是否有解？是否有唯一解？这个部分有用到后面适定性的 Picard 迭代序列，不过大家暂时只需要记住这个构造就行了。
然后就是求解了。这部分其实是和前面一阶常微分方程进行类比，从而导出特征值法。研究一下课上的例题和作业其实掌握的差不多了。
线性常微分方程¶
这个部分我觉得是上一个部分的特殊形式，因为我们可以转化为线性常微分方程组进行求解，然后再导出待定系数法、常数变易法。
变系数线性常微分方程主要是要掌握 Eular 方程、降阶法和常数变易法，二阶的特殊系数只是提供一个更快的求解方法，但是我至今都没记住（），（广义）幂级数法说到底还是待定系数法，想必也很好掌握吧。
二阶 LODE 的零点分布讲的是孤立性以及Sturm 比较定理所推出的零点间距的估计，而边值问题主要是记住解的唯一性和共轭点的关系，求解方法看一道例题就知道该怎么做了。
一阶常微分方程的适定性¶
也是到了ode最困难的部分了，也是定理最多的部分了！有证明存在性所需要的一致有界、等度连续的定义，Peano 定理及其引理 Arzela-Ascoli 定理；能够说明唯一性的 Lipschitz 条件和 Picard 定理、Osgood 条件、单调递减条件、 Cauchy 存在定理；接着的是将局部解进行延拓所涉及的解延拓定理、饱和解、整体解；用于估计解存在区间的第一比较定理、右行上（下）解、右行最大（小）解、第二比较定理；最后就是解对初值的连续依赖性。这一部分内容超级丰富，还是要花比较多时间才能掌握的。zt老师上课的时候会带着我们一步一步推进思路，讲解为什么要这么构造或者为什么会去考虑这些定理，而不会说直接咔咔咔把证明写出来。建议大家多看看这里面的证明，对作业和考试都是有帮助的。
最后老师还讲了求解高阶 ODEs 的一些方法（首次积分法、Hamilton 系统、极坐标法）
Lyapunov 稳定性理论¶
首先是要搞清楚稳定和吸引的区别，这个一开始挺容易混淆的。LODEs 的稳定性挺好掌握的（分析特征值嘛），不过定理的证明还是要关注一下。
Lyapunov 第二方法中 Lyapunov 函数的构造我觉得挺玄学的，不过可以多看看课上例题和作业的构造，考试基本都是用一些常见的构造就能够解决的
相图¶
相图可以让我们更直观地分析稳定性，把那几种相图类型以及对应的条件自己推导一遍其实也就差不多了，主要是注意线性近似后奇点类型是否有变化。而极坐标法有时候能更好地进行分析。
一阶偏微分方程初步¶
最后的PDE讲的内容很少，考的也很简单，会用特征线法和首次积分法就ok了。
总结¶
个人给的建议就是多注重计算的训练，期末的计算还是占大头的，不然期末会被计算薄纱；同时例题的证明可以好好研究一下，学习一下思路。
我喜欢zt老师就是因为老师讲课思路很清晰，板书也很工整，跟着zt老师的思路听课记笔记确实能省掉很多课后的时间。
我的笔记在这里，希望对大家有所帮助->【数学之韵】常微分方程 笔记分享（ODE） https://www.cc98.org/topic/6392438 复制本链接到浏览器或者打开【CC98】微信小程序查看~